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1、二维形式　　(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2　　等号成立条件：ad=bc　　 三角形式　　√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]　　等号成立条件：ad=bc　　注：“√”表示平方根，　　 向量形式　　|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

2、　　 一般形式　　(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

3、　　上述不等式等同于图片中的不等式。

4、　　 推广形式　　(x1＋y1＋…)(x2＋y2＋…)…(xn＋yn…)≥[(Πx)^(1/m)＋(Πy)^(1/m)＋…]^m　　注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。

5、 [编辑本段]【柯西不等式的证明】　　 二维形式的证明　　　(a^2+b^2)(c^2+d^2)　（a,b,c,d∈R)　　＝a^2·c^2 ＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2　　＝a^2·c^2 ＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2　　＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2　　≥(ac＋bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

6、　　 一般形式的证明　　求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 　　证明：　　当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立　　令A=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2　　当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A＞0　　构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，展开得：　　f(x)＝∑(ai^2·x^2＋2ai·bi·x＋bi^2)＝∑ (ai·x＋bi)^2≥0　　故f(x)的判别式△＝4B^2－4AC≤0，　　移项得AC≥B，欲证不等式已得证。

7、　　 向量形式的证明　　令m＝(a1, a2, …, an)，n＝(b1, b2, …, bn) 　　m·n＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝|m||n|cos<m, n>＝√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2) ×cos<m, n> 　　∵cos<m, n>≤1　　∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2) 　　注：“√”表示平方根。

8、　　注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。

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